Олимпиада 9-10 классы - задачи и ответы

1. В треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны и равны 18 см и 24 см. Найдите площадь этого треугольника (в кв. см).
Правильный ответ: 288

2. На продолжении стороны KL вписанного четырёхугольника KLMN за точку L отмечена точка E так, что равны углы KFM и MKN, и стороны KM и MF. Найдите отношение длины стороны KN к LF.
Правильный ответ: 1

3. На столе лежат 344 конфеты. Вова и Дима по очереди берут конфеты, они могут брать за один ход от двух до четырёх конфет. Проигрывает тот, кто не может взять конфету. Сколько конфет должен взять Вова первым ходом, чтобы гарантировать свою победу?
Правильный ответ: 2

4. Катя и Настя влюблены в своего одноклассника Петю. Однажды, заглянув в Петин пенал, они нашли там фотографии девочки Светы. Катя с Настей, разозлившись, принялись рвать фотокарточки на части. Фотография или обрывок фотографии, попавший в руки Кате, моментально разрывается на 11 кусков, а Насте – на 6 кусков. Сколько было Светиных фотографий у Пети, если склеивать их ему пришлось из 344 кусочков?
Правильный ответ: 4

5. Алёша Попович, Добрыня Никитич и Илья Муромец со всей своей богатырской силушкой бьют по чудо-дереву. После удара Алёши Поповича с дерева падает 5 бананов, 3 апельсина и 7 кокосов. После удара Добрыни Никитича – 4 апельсина, 9 бананов и 6 персиков. А Илья Муромец сбивает с дерева сразу 10 апельсинов, 8 персиков, 9 кокосов и 11 бананов. Сколько апельсинов упало с дерева, если бананов упало 81, кокосов - 50, и 50 персиков?
Правильный ответ: 58

6.
По горизонтали:
А – число, которому нет равных среди других чисел.
Б – число, совпадающее с одним из чисел по вертикали.
В – число, делящееся на 9.
Г – число, цифры которого составляют убывающую геометрическую прогрессию.
Д – число, на 9 больше утроенного числа e по вертикали.
Е – четвёртая степень натурального числа.

По вертикали:
a – чётное число, все цифры которого одинаковы.
b – число, в 3 раза большее числа e.
c – число, на единицу большее числа e.
d – число, все цифры которого одинаковы.
e – возраст Вани.
f – возраст Ваниной бабушки.

Решите кросснумбер и запишите в ответе, на сколько лет бабушка старше Вани.

Правильный ответ: 68

7. На вечеринке было блюдо с 70 пирожными, 10 девушек и несколько юношей. Сначала каждая девушка угостила пирожными с блюда всех знакомых ей юношей – по одному пирожному каждому. Потом юноши съели полученные от знакомых девушек пирожные и угостили оставшимися пирожными с блюда незнакомых им девушек (по одному пирожному каждой). После чего пирожные закончились и начались танцы. Сколько юношей было на вечеринке?
Правильный ответ: 7

8. Натуральные числа n и m удовлетворяют условию: m+2mn+n=344. Найдите все такие n и m и запишите в ответ наибольшее из произведений nm.
Правильный ответ: 77

9. Даны 3443 числа. Сумма этих чисел равна их произведению. Напишите наименьшее из таких произведений.
Правильный ответ: 6886

10. В посёлке 344 домов и одна улица. Дома стоят напротив друг друга, с каждой стороны дороги расположено 172 дома. В каждом доме живёт лжец или эльф. Первые всегда врут, вторые не врут никогда, но все они утверждают, что у них нечётное число соседей-лжецов. Назовите минимальное число эльфов в деревне. (Для красного дома соседними считаются зелёные дома.)

Правильный ответ: 58

Комментарии

Правильный ответ - 0. Числа от -1721 до 1721, включая ноль. Сумма -1721+(-1720)+...+0+...+1720+1721=0. Произведение равно 0, так как один из множителей - 0.