Олимпиада (фев 2016, математика) 5-6 классы - задачи и ответы

1. Тело, изображенное на картинке, состоит из одинаковых кубиков. Какое наименьшее количество кубиков надо добавить, чтобы достроить это тело до куба?

Решение:
Наименьший куб, который можно построить, имеет ребро в 5 раз длиннее, чем у маленького кубика. В таком кубе поместятся 125 маленьких кубиков. 15 маленьких кубиков уже есть. Значит, нужно добавить 110 кубиков.

Ответ: 110

2. Число В записывается одними единицами - всего 2003 цифр. Сколько цифр содержит произведение числа В на 2003?

Решение:
Произведение числа В на 2003 можно представить в виде следующей суммы: 22…2000 + 33…3. (В первом слагаемом 2003 двойки, во втором - 2003 тройки.) В этом числе 2006 цифр.

Ответ: 2006

3. В десятичной записи числа 59876 использованы 5 последовательных цифр. Чему равна третья цифра следующего пятизначного числа, обладающего таким же свойством?

Решение:
Следующее пятизначное число, обладающее таким же свойством - это число 62345.

Ответ: 3

4. В многоугольнике с периметром 31 см провели диагональ d, которая разбила его на два многоугольника с периметрами 21 см и 30 см. Чему равна длина d? (выразить в см)

Решение:
21 + 30 – 2d = 31. Отсюда, d = 10.

Ответ: 10

5. Трем путешественникам - Александру, Федору и Максиму - нужно переправиться на лодке, которая выдерживает массу не более 100 кг, с одного берега реки на противоположный. Александр весит 54 кг, его друг Максим - 46 кг, а Федор - около 70 кг. За какое минимальное количество рейсов они смогут переправиться через реку? (За рейс следует считать движение лодки в одном направлении).

Решение:

Ответ: 5

6. На прямолинейном участке шоссе расположены четыре остановки - A, B, C и D. Известно, что расстояние между остановками A и D равно 1 км, между B и C - 2 км, между B и D - 3 км, между A и B - 4 км, между C и D - 5 км. Найдите расстояние между остановками A и C. (Выразить в км).

Решение:
Остановки располагаются следующим образом:

---A---D---.---.---B---.---C---

Ответ: 6

7. Старуха Шапокляк очень любит животных. Все ее животные, кроме двух, - собаки; все, кроме двух, - кошки; и все, кроме двух, - попугаи; остальные - крыски. Найдите общее количество кошек и крысок старухи Шапокляк, если крысок у нее меньше, чем кошек.

Решение:
Собак, кошек и попугаев у старухи Шапокляк поровну. Обозначим число кошек x, а число крысок y, таким образом, получается всего (3x + y) животных.
3x + y - 2 = x, откуда 2x + y = 2. Числа x и y целые и неотрицательные, следовательно, х может равняться 1 (при y = 0) или 0 (при y = 2).

Ответ: 1

8. Четверо пятиклассников - Алеша, Боря, Витя и Гриша - решили определить свой вес. Однако все четверо мальчиков на весы не помещались, так что они стали взвешиваться по трое или по двое. Выяснилось, что Алеша, Боря и Витя вместе весят 90 кг; Боря, Витя и Гриша - 92 кг; а Алеша и Гриша - 58 кг. Сколько килограммов весят все мальчики вместе?

Решение:
А + Б + В = 90, Б + В + Г = 92, А + Г = 58.
(А + Б + В) + (Б + В + Г) - (А + Г) = 90 + 92 - 58.
Значит, 2(Б + В) = 124, отсюда Б + В = 62.
(А + Г) + (Б + В) = 58 + 62.

Ответ: 120