Олимпиада (фев 2016, математика) 9-10 классы - задачи и ответы

1. Произведение возрастов Машиных братьев равно 1664. Младший из братьев вдвое моложе старшего. Сколько у Маши братьев?

Ответ: 3

2. 30 студентов со всех пяти курсов составили 40 задач. Любые два однокурсника придумали одинаковое количество задач, любые два студента с разных курсов придумали разное количество задач. Сколько человек придумали по одной задаче?

Ответ: 26

3. Четыре девочки поют песни, аккомпанируя друг другу. Каждый раз одна из них играет, а остальные три поют. Оказалось, что Даша спела больше всех песен - восемь, а Оля спела меньше всех - пять. Сколько всего песен спели девочки?

Ответ: 9

4. Какое минимальное число фишек надо взять, чтобы при любой их расстановке на клетках шахматной доски обязательно встретились бы 4 фишки, стоящие друг за другом по горизонтали?

Ответ: 49

5. 100 книг распределили между несколькими школьниками. При каком максимальном числе школьников это можно сделать таким образом, что все они получат разное количество книг?

Ответ: 13

6. Четверо товарищей покупают лодку. Первый вносит половину суммы, вносимой остальными; второй - треть суммы, вносимой остальными; третий четверть суммы, вносимой остальными; четвёртый 130 рублей. Сколько рублей стоит лодка?

Ответ: 600

7. a, b, с - стороны треугольника. Известно, что (а + b + с) (а + b – с) = 3ab . Какой угол лежит против стороны с?

Ответ: 60°

8. Алеша перемножил все числа от 1 до 100. Посчитал сумму цифр произведения. У полученного числа он снова посчитал сумму цифр, и так далее. В конце концов, Алеша получил однозначное число. Какое?

Ответ: 9