Олимпиада (фев 2020, математика) 9-10 классы - задачи и ответы

1. Сколькими способами можно записать число 2019 в виде суммы а + b, где а и b — простые числа и а меньше b ?

Ответ: 1

2. Какой процент площади треугольника закрашен на рисунке?

Ответ: 88%

3. У скольких четных натуральных чисел количество натуральных делителей (включая 1 и само число) равно 13?

Ответ: 1

4. Из нескольких одинаковых кубиков Толик сложил большой куб и покрасил его грани. Оказалось, что число кубиков с одной покрашенной гранью на 18 больше числа кубиков с двумя покрашенными гранями. Сколько маленьких кубиков использовал Толик?

Ответ: 125

5. Первая бригада, работая отдельно, может выполнить задание за 20 дней, а вместе со второй бригадой – за 12 дней. За сколько дней одна вторая бригада может выполнить то же задание?

Ответ: 30

6. На доске написано 40 различных целых чисел. Количество пар различных чисел с нечетной суммой равно количеству пар различных чисел с нечетным произведением. Сколько нечетных чисел написано на доске?

Ответ: 27

7. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут, и хитрецы, каждый из которых поочередно отвечает на заданные ему вопросы то правду, то ложь. Каждому жителю острова было задано два вопроса: «Вы рыцарь?» и затем «Вы хитрец?». Ответ «Да» на первый вопрос дали 17 человек, а на второй – 12. Сколько рыцарей на острове?

Ответ: 5

8. На доске написаны числа 1, 2, …, 101. Разрешается стереть любые два числа и написать их разность. Повторив эту операцию 100 раз, мы получим одно число. Может ли это число оказаться равным одному из следующих чисел (0, 2, 4, 6)?

Ответ: ни один из данных вариантов невозможен