Олимпиада (фев 2021, математика) 5-6 классы - задачи и ответы

1. Сколько суток в килодюжине часов?

РЕШЕНИЕ
Килодюжина часов – это 12000 часов. 12000 часов – это 500 суток.

Ответ: 500

2. Двум англичанам, путешествующим в дебрях Амазонки, и двум их проводникам из местного племени требуется переправиться на противоположный берег реки. В распоряжении путешественников имеется небольшая надувная лодка, способная вместить только двух человек. Англичане подозревают, что их проводники из племени людоедов, и чувствуют себя в безопасности лишь тогда, когда находятся вдвоем. За сколько рейсов они смогут переправиться через реку? (За рейс следует считать движение лодки в одном направлении туда или обратно).

РЕШЕНИЕ
Алгоритм перемещения на другой берег представлен в следующей таблице (А1 и А2 – англичане, П1 и П2 – проводники).

Ответ: 5

3. Каждую звездочку в примере 3*3*3 можно заменить на один из знаков арифметического действия. Какой из перечисленных результатов - 3; 4; 6; 12 - нельзя получить?

РЕШЕНИЕ
3 = 3 – 3 + 3; 4 = 3 + 3:3; 6 = 3·3 – 3; 12 = 3·3 + 3.

Ответ: можно получить все перечисленные результаты

4. Сколько диагоналей у двенадцатиугольника? (Диагональю многоугольника называется отрезок, который соединяет две вершины многоугольника и не является при этом его стороной).

РЕШЕНИЕ
Если начертить 12-угольник со всеми диагоналями, то из каждой вершины будет выходить 11 отрезков. У этих отрезков будет 132 конца (132 = 12·11). 132 конца имеется у 66 отрезков (66 = 132:2). Среди этих отрезков 12 являются сторонами 12-угольника. Значит, диагоналей 54 (54 = 66 – 12).

Ответ: 54

5. Натуральные числа, большие 2007, возвели в квадрат и у каждого квадрата вычислили сумму цифр. Самая маленькая из этих сумм равна...

РЕШЕНИЕ
10000 > 2007. (10000)² = 100000000. Сумма цифр этого числа равна 1. Очевидно, что меньше она быть не может.

Ответ: 1

6. У некоторой пирамиды 9 граней. Сколько у нее ребер?

РЕШЕНИЕ
Если пирамида имеет 9 граней, значит у нее одно основание и 8 боковых граней – треугольников. Следовательно, в основании пирамиды восьмиугольник. Значит, у пирамиды 16 ребер (8 ребер, которые являются сторонами восьмиугольника, а также 8 боковых ребер).

Ответ: 16

7. Все натуральные числа, полученные из числа 1234 перестановкой цифр, включая это число, выписали в возрастающем порядке. Каким числом заканчивается первая половина этого списка?

РЕШЕНИЕ
В списке сначала идут 6 чисел, начинающихся с цифры 1, потом с 2, потом с 3, потом с 4. Поэтому первая половина списка заканчивается последним числом, начинающимся с цифры 2. Это число 2431.

Ответ: 2431

8. 110 книг распределили между несколькими школьниками так, что каждый получил хотя бы одну книгу. При каком максимальном числе школьников это можно сделать таким образом, что все они получат разное количество книг?

РЕШЕНИЕ
Если школьников 15, понадобится не менее 120 книг (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 120).
Если школьников 14, такое распределение возможно (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 19 = 110).

Ответ: 14