Олимпиада (фев 2021, математика) 7-8 классы - задачи и ответы

1. Есть четыре карточки с надписями: «делится на 7», «простое», «нечетное» и «больше 100». На другой стороне карточек написаны числа 2, 5, 7 и 12. Для любой карточки число, написанное на ней, не обладает свойством, написанным на ее обороте. Какое число написано на карточке с надписью «делится на 7»?

РЕШЕНИЕ
Если на карточке написано «простое», то на другой ее стороне не может быть 2, 5 или 7. Значит, там 12. Если на карточке написано «нечетное», то на другой ее стороне не может быть 5 или 7. Значит, там 2. Если на карточке написано «делится на 7», то на другой ее стороне не может быть 7. Значит, там 5.

Ответ: 5

2. При сложении длин трех сторон некоторого прямоугольника получается либо 20, либо 22. Каков периметр этого прямоугольника?

РЕШЕНИЕ
Пусть смежные стороны прямоугольника равны а и b. Тогда 2а + b = 20, а + 2b = 22. Отсюда 3а + 3b = 42, а + b = 14, 2а + 2b = 28.

Ответ: 28

3. Сколько воды необходимо добавить к 150 мл 70-процентной уксусной эссенции, чтобы получить 6-процентный столовый уксус?

РЕШЕНИЕ
В 150 мл 70-процентной уксусной эссенции содержится 105 мл кислоты и 45 мл воды. В уксусе после разбавления эссенции также содержится 105 мл кислоты. Если 105 мл – это 6 %, то объем всего уксуса равен 1750 мл. Значит, добавили 1600 мл воды (1600 = 1750 – 150).

Ответ: 1,6 л

4. На окружности с центром в точке О взяли точку А. Какую часть окружности составляют точки, которые ближе к О, чем к А?

РЕШЕНИЕ
Точки окружности, которые ближе к О, чем к А, находятся на дуге, являющейся границей закрашенной части круга (см. рисунок).

Ответ: 2/3

5. Чему равно отношение удвоенного квадрата утроенного куба ненулевого числа а к утроенному кубу удвоенного квадрата этого же числа?

РЕШЕНИЕ
(2(3а³)²)/(3(2а²)³) = 3/4.

Ответ: 3/4

6. Ученики 7а класса посещают школьную библиотеку. В понедельник в нее пришло 5 учеников, во вторник - 6, в среду - 4, в четверг - 8, в пятницу - 7. Никто из учеников не был в библиотеке два дня подряд. Какое наименьшее количество учеников может быть в 7а классе?

РЕШЕНИЕ
Допустим, каждый ученик класса за неделю посетил библиотеку. В классе не меньше 15 учеников, поскольку в четверг библиотеку посетили 8 учеников, в пятницу – 7, и это разные дети. Возможен вариант, когда библиотеку за неделю посетили ровно 15 человек. В понедельник, среду и пятницу в библиотеку могли прийти в общей сложности 7 человек (в пятницу – 7, в понедельник – любые 5 из них, в среду – любые 4 из них). Во вторник и четверг в библиотеку могли прийти в общей сложности 8 человек (в четверг – 8, во вторник – любые 6 из них). Поэтому наименьшее количество учеников в классе – 15.

Ответ: 15

7. Натуральное число N имеет ровно 6 различных натуральных делителей (включая 1 и N). Произведение пяти из них равно 2000. Какое из следующих чисел является шестым делителем?

РЕШЕНИЕ
Если число имеет ровно 6 различных натуральных делителей, то оно представимо либо в виде: р⁵ (где р – простое число), либо в виде: аb² (где а и b – простые числа). 2000 = 2⁴·5³, значит, N имеет более одного простого делителя и верен второй вариант. Получается, что N может быть равно 50 (50 = 2·5²) или 20 (20 = 2²·5). Произведение делителей числа 20 равно 2³·5⁶. N не может быть равно 20, поскольку 2³ < 2⁴. Произведение делителей числа 50 равно 2⁶·5³. Значит, шестой делитель N равен 2².

Ответ: 4

8. Мне вдвое больше лет, чем было Вам тогда, когда мне было столько лет, сколько Вам сейчас. Сейчас нам вместе 70 лет. Сколько лет было нам вместе тогда?

РЕШЕНИЕ
Пусть мне было тогда х лет, а Вам – у. Тогда Вам сейчас х лет, а мне – 2у. Можно составить следующие уравнения: 2у – х = х – у; х + 2у = 70. Отсюда х = 30, у = 20.

Ответ: 50