Олимпиада (фев 2022, математика) 5-6 классы - задачи и ответы

1. На озере расцвела одна лилия. Каждый день количество цветов на озере удваивалось, и на 30-й день все озеро покрылось цветами. На какой день озеро покрылось цветами наполовину?

РЕШЕНИЕ
На 29-й день озеро покрылось цветами наполовину. На следующий день количество цветов удвоилось. Таким образом, на 30-й день все озеро покрылось цветами.

Ответ: 29

2. Заменяя в выражении 2*0*1*0=1 каждую из звездочек либо на «+», либо на «–», можно получить различные равенства. Сколько среди них правильных?

РЕШЕНИЕ
Звездочку перед 1 можно заменить только на «–». Другие две звездочки можно заменить как на «+», так и на «–».

Ответ: 4

3. Каким числом может быть второй понедельник месяца? (Выбрать из вариантов - 5, 6, 7, 12, 15).

РЕШЕНИЕ
Если второй понедельник месяца приходится на 12 число, то первый понедельник месяца приходится на 5 число. Такое возможно. Остальные варианты (5, 6, 7, 15) невозможны.

Ответ: 12

4. У 26 человек класса на собрание пришли папы и мамы. Мам было 22, пап - 8. У скольких учеников на собрание пришли одновременно и папа, и мама?

РЕШЕНИЕ
Пусть у х учеников на собрание пришли папы и мамы. Тогда у 22 – х учеников пришли только мамы. У 8 – х учеников пришли только папы.
Можно составить уравнение: х + 22 – х + 8 – х = 26, из которого х = 4.

Ответ: 4

5. После того, как бегун пробежал треть всей дистанции и 400 м, ему осталось пробежать еще треть пути и 200 м. Чему равна длина дистанции?

РЕШЕНИЕ
400 м + 200 м – это треть дистанции. Значит, вся дистанция равна 1800 м.

Ответ: 1800 м

6. Три сестры: Вера, Таня и Света - одинаково быстро и хорошо умеют наводить порядок в квартире. Если любые две из этих девочек будут работать вместе, то справятся с уборкой квартиры за час. Сколько времени они потратят на уборку квартиры, если будут работать все трое вместе?

РЕШЕНИЕ
Если две девочки убирают квартиру за час, то одна девочка за час убирает половину квартиры. Значит, на уборку всей квартиры одной девочке нужно 2 часа или 120 минут. Если три девочки будут работать вместе, то каждой придется убрать треть квартиры. Девочка сделает это за 40 минут (40 = 120/3).

Ответ: 40 минут

7. Сколько существует семизначных чисел, в которых цифры слева направо не уменьшаются, а каждая из цифр этого числа встречается столько раз, каково ее значение?

РЕШЕНИЕ
Существует пять таких чисел. Это числа: 1224444, 1666666, 2255555, 3334444 и 7777777.

Ответ: 5

8. Андрей составляет расписание тренировок по бегу на несколько месяцев. Он собирается тренироваться по три дня в неделю в одни и те же дни и не хочет тренироваться два дня подряд. Сколькими способами он может составить такое расписание?

РЕШЕНИЕ
В расписании должно быть 3 рабочих дня и 4 выходных. Рабочие дни и пропуски чередуются. Очевидно, что должно быть 2 пропуска по одному дню и 1 пропуск в два дня. Существует 7 вариантов назначить двухдневный пропуск (он может начинаться в каждый из дней недели). После этого остальные дни расписания определяются однозначно.

Ответ: 7