Олимпиада (фев 2022, математика) 9-10 классы - задачи и ответы

1. Найдите значение данного выражения:

РЕШЕНИЕ

Ответ: 9800

2. Пока Чебурашка ест две порции мороженого, Винни-Пух успевает съесть пять таких же порций, а пока Винни-Пух ест три порции, Карлсон съедает семь. «Работая» вместе, Чебурашка и Карлсон съели 82 порции. Сколько порций за это время съел Винни-Пух?

РЕШЕНИЕ
Пока Винни-Пух ест 5 порций мороженого, Чебурашка успевает съесть 2 таких же порции. Значит, пока Винни-Пух ест 15 порций мороженого, Чебурашка успевает съесть 6 таких же порций. Пока Винни-Пух ест 3 порции, Карлсон съедает 7. Значит, пока Винни-Пух ест 15 порции, Карлсон съедает 35. Получается, что пока Чебурашка съедает 6х порций, Винни-Пух успевает съесть 15х порций, а Карлсон - 35х. «Работая» вместе, Чебурашка и Карлсон съели 82 порции. Значит, 6х + 35х = 82. Отсюда х = 2, 15х = 30.

Ответ: 30

3. Все клетки таблицы 5×5 окрашены в разные цвета. Сколькими способами можно вырезать из этой таблицы одну фигурку данного вида (см. рисунок)? (Резать можно только по линиям клеток. Фигурку можно переворачивать).

РЕШЕНИЕ
Вырезать фигурку данного вида можно, вырезав сначала квадрат 2×2, а потом из этого квадрата - квадрат 1×1. Вырезать квадрат 2×2 из квадрата 5×5 можно 16-ю способами. Вырезать квадрат 1×1 из квадрата 2×2 можно четырьмя способами. Поэтому вырезать фигурку данного вида можно 64-мя способами (64 = 16ˑ4).

Ответ: 64

4. После того, как на борт были подняты 30 потерпевших кораблекрушение, оказалось, что запасов питьевой воды, имеющейся на корабле, хватит только на 50 дней, а не на 60, как раньше. Сколько людей было на корабле сначала?

РЕШЕНИЕ
Пусть сначала на корабле было х человек, каждый человек выпивает в день у литров воды. Тогда они выпивают за день ху литров воды. После того, как на борт были подняты 30 потерпевших кораблекрушение, они стали выпивать за день х(у + 30) литров воды. Можно составить уравнение: 60ух = 50у(х + 30), из которого х = 150.

Ответ: 150

5. К числу 42 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 24. Сколько различных вариантов ответа может при этом получиться?

РЕШЕНИЕ
Число делится на 24, если оно делится на 3 и на 8. Число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. К числу 42 можно приписать справа только цифру 4, так чтобы получившееся число делилось на 8. Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. К числу 424 можно приписать слева только 2, 5 или 8 так, чтобы получившееся число делилось на 3. Поэтому можно получить три варианта ответа: 2424, 5424 и 8424.

Ответ: 3

6. Два мальчика зашли в кафе. Первый купил три одинаковых шоколадки, а второй - две такие же шоколадки. Потом к ним присоединился третий, и они разделили весь шоколад поровну. Третий внес 120 рублей. Первому и второму нужно поделить между собой эти деньги. Сколько должен забрать себе первый?

РЕШЕНИЕ
Если мальчики разделили шоколад поровну, каждому досталось 5/3 шоколадки. Значит, первый мальчик отдал третьему 4/3 шоколадки, а второй - 1/3 шоколадки. Первый мальчик отдал шоколада в 4 раза больше, чем второй. Поэтому он должен получить в 4 раза больше денег.

Ответ: 96 рублей

7. На острове Невезения собрались рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут, причем как рыцарей, так и лжецов не меньше, чем по двое. Каждый присутствующий указал на каждого из оставшихся и произнес: «Ты - рыцарь!» или «Ты - лжец!». Высказываний «Ты - лжец!» было ровно 110. Сколько было высказываний «Ты - рыцарь!»?

РЕШЕНИЕ
Рыцарь скажет рыцарю: «Ты - рыцарь!». Рыцарь скажет лжецу: «Ты - лжец!». Лжец скажет рыцарю: «Ты - лжец!». Лжец скажет лжецу: «Ты - рыцарь!». Как видно, человек такому же, как он (рыцарь - рыцарю, лжец - лжецу) говорит: «Ты - рыцарь!». Человек не такому, как он (рыцарь - лжецу, лжец - рыцарю) говорит: «Ты - лжец!». Пусть собрались х рыцарей и у лжецов. Тогда рыцари скажут лжецам: «Ты - лжец!» ху раз и лжецы скажут рыцарям: «Ты - лжец!» ху раз. Получается, что 2ху = 110, отсюда ху = 55. Значит, людей одного и другого типа 5 и 11 (поскольку, как рыцарей, так и лжецов не меньше, чем по двое). Значит, высказываний «Ты - рыцарь!» было 130 (130 = 5×4+ 11×10).

Ответ: 130

8. Для каждой пары различных чисел из списка 1, 2, 3 ..., 1000 робот находит их сумму. Сколько различных результатов он получит?

РЕШЕНИЕ
Минимальная сумма, которая может получиться, равна 3, максимальная - 1999. Докажем, что получится любое число из ряда: 3, 4, 5, …, 1999. Действительно, числа от 3 до 1001 получаются прибавлением 1 к последующим числам. Числа от 1001 до 1999 получаются прибавлением 1000 к предыдущим числам.

Ответ: 1997