Олимпиада (ноя 2020, математика) 7-8 классы - задачи и ответы

1. Каково наибольшее количество последовательных трехзначных чисел, каждое из которых имеет хотя бы одну нечетную цифру?

РЕШЕНИЕ
Может быть 111 чисел (например, от 200 до 310). Очевидно, что большего количества чисел быть не может.

Ответ: 111

2. Семь Бук весят как пять Бяк. Однажды Бяка набрался храбрости и проглотил Буку. Во сколько раз увеличился его вес?

РЕШЕНИЕ
Пусть Бука весит х, Бяка весит у. По условию 7х = 5у. Отсюда х = 5у/7. (5у/7 + y)/y = 12/7.

Ответ: 12/7

3. Если 2a – b = 505 и 3b – с = 333, то 4a + 7b – 3c равно...

РЕШЕНИЕ
Если 2a – b = 505, то 4a – 2b = 1010. Если 3b – с = 333, то 9b – 3с = 999.
4a + 7b – 3c = (4a – 2b) + (9b – 3с) = 1010 + 999 = 2009.

Ответ: 2009

4. В доме между любыми двумя комнатами имеется не более одной двери, и из каждой комнаты не более одной двери ведет в сад. Всего в доме 12 дверей. Какое наименьшее число комнат может быть в этом доме?

РЕШЕНИЕ
В доме может быть 5 комнат.
План такого дома изображен на рисунке (двери на нем обозначены черными точками).

Ответ: 5

5. Длины ребер прямоугольного параллелепипеда - натуральные числа, а площади двух его граней равны 24 и 30. Какой наибольший объем может иметь этот параллелепипед?

РЕШЕНИЕ
Допустим, измерения прямоугольного параллелепипеда равны а, b и с. Пусть аb = 24, bс = 30. Объем прямоугольного параллелепипеда равен аbс. аbс = ab·bc/b = 24·30/b. Как видно из формулы, объем прямоугольного параллелепипеда будет наибольшим при b, равном 1.

Ответ: 720

6. Миша выписал числа от 1 до 9 в некотором порядке. Затем он нашел среднее арифметическое в каждой паре соседних чисел в этом ряду и сложил получившиеся 8 чисел. Какая наибольшая сумма могла у него получиться?

РЕШЕНИЕ
Решение: пусть а1, а2, …, а9 – это числа от 1 до 9, выписанные в некотором порядке.
1 + а2)/2 + (а2 + а3)/2 + … + (а8 + а9)/2 = а1/2 + а2 + а3 + … + а8 + а9/2. Данное выражение будет принимать наибольшее значение при а1 и а9, равных 1 и 2.

Ответ: 43,5

7. На острове есть два племени - рыцарей (которые всегда говорят правду) и лжецов (которые всегда лгут). Как-то собралась компания из 25 островитян. У каждого спросили, сколько среди них лжецов. Два человека сказали «два», 4 человека - «меньше четырёх», 6 человек - «меньше шести», 13 человек - «меньше тринадцати». Cколько среди них лжецов, если известно, что в компании есть представители обоих племён?

РЕШЕНИЕ
Жителей острова можно разделить на 4 категории. Первая, вторая, третья и четвертая категории – это жители, которые сказали «два», «меньше четырёх», «меньше шести» и «меньше тринадцати» соответственно. Очевидно, что жители, принадлежащие одной категории, – это представители одного племени. Первая, вторая и третья категории – это лжецы. Четвертая категория – это рыцари.

Ответ: 12

8. В футболе команда получает за победу 3 очка, за ничью 1 очко, а за поражение 0 очков. Команда сыграла 38 матчей и получила 80 очков. Какое наибольшее число раз эта команда могла проиграть?

РЕШЕНИЕ
Допустим, команда а раз выиграла, b раз сыграла вничью и с раз проиграла. Тогда а + b + с = 38 (уравнение 1), 3а + b = 80 (уравнение 2).
Пусть с = 12. Тогда из уравнения 1 получаем, что а + b = 26. Из уравнения 2 получаем, что 2а = 54. Значит, а = 27. Противоречие. Значит, с не может быть равно 12.
Пусть с = 11. Тогда из уравнения 1 получаем, что а + b = 27. Из уравнения 2 получаем, что 2а = 53. Не существует целого числа, удовлетворяющего этому уравнению. Значит, с не может быть равно 11.
Пусть с = 10. Тогда из уравнения 1 получаем, что а + b = 28. Из уравнения 2 получаем, что 2а = 52. Значит, а = 26. В этой ситуации никаких противоречий не возникает, а = 26, b = 2, с = 10.

Ответ: 10