Олимпиада (окт 2015, математика) 9-10 классы - задачи и ответы

1. У Вити 100 мышей, некоторые из них белые, некоторые - серые. Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из любых двух мышей хотя бы одна - белая. Сколько серых мышей у Вити?
Ответ: 1

2. На уроке физкультуры все ученики 9Б класса построились в шеренгу. Оказалось, что мальчики и девочки в ней чередуются. Известно, что ровно 48% учеников 9Б класса - мальчики. Найдите сумму цифр числа учеников в 9Б классе.
Ответ: 7

3. Каково наименьшее натуральное N, такое, что N! делится на 990?
Ответ: 11

4. Какое наименьшее количество цифр нужно написать подряд, чтобы вычёркиванием некоторых цифр можно было получить любое трёхзначное натуральное число от 100 до 999?
Ответ: 29

5. На плоскости выбрали n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые из них выделили красным цветом, а все остальные - синим. Затем каждую синюю точку соединили с каждой красной. Оказалось, что провели ровно 2011 отрезков. Найдите n.
Ответ: 2012

6. Вершины правильного многоугольника занумеровали по порядку. Одну из вершин соединили отрезками с 1-й и 2011-й. Оказалось, что угол между этими отрезками равен 30°. Сколько сторон у этого правильного многоугольника?
Ответы: 2412, другой ответ

7. Квадрат 5×5 разбит на квадратики 1×1. Из этих квадратиков выбрали несколько, и в каждом из выбранных провели одну или две диагонали. Оказалось, что никакие две проведенные диагонали не имеют общих концов. Какое наибольшее число диагоналей может быть проведено?
Ответ: 18

8. На острове 2000 деревень, в каждой из которых 66 жителей. Каждый житель острова - либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжет. При этом известно, что на острове ровно 72 072 рыцаря. В один прекрасный день каждому жителю острова был задан вопрос: "Кого в Вашей деревне больше: рыцарей или лжецов?" Оказалось, что в каждой деревне на этот вопрос 44 человека ответило, что в деревне больше рыцарей, и 22 - что больше лжецов. Сколько на острове деревень, в которых рыцарей больше, чем лжецов?
Ответ: 1276