Олимпиада (окт 2016, математика) 7-8 классы - задачи и ответы

1. Камень весит 5 кг, еще треть камня и еще половину камня. Сколько весит камень?

Решение:
1/3 + 1/2 = 5/6. Значит, 5 кг - это 1/6.
Следовательно, камень весит 5•6 = 30 кг.

Ответ: 30 кг

2. Во сколько раз минутная стрелка в часах движется быстрее часовой?

Решение:
За время, когда минутная стрелка проходит один круг, часовая проходит 1/12 круга.

Ответ: 12

3. Точка О - центр правильного пятиугольника Какая часть площади закрашена?

Решение:
Правильный пятиугольник можно разделить на 5 равных треугольников, как показано на рисунке. Закрашенную часть можно представить как треугольник и еще половину треугольника. Треугольник составляет 20% площади пятиугольника, половина треугольника - 10%. Всего 30%.

Ответ: 30%

4. Окрашенный кубик с ребром 6 см распилили на кубики с ребром 1 см. Сколько будет кубиков с двумя окрашенными гранями?

Решение:
Кубики с двумя окрашенными гранями располагаются вдоль ребер большого куба (по 4 вдоль каждого ребра). Ребер у куба 12, поэтому количество кубиков с двумя окрашенными гранями равно 12•4 = 48.

Ответ: 48

5. В гостиницу приехал путешественник. Денег он не имел, а обладал лишь серебряной цепочкой, состоящей из семи звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он должен был расплачиваться одним звеном цепочки. Какое наименьшее количество звеньев цепочки необходимо распилить путешественнику, чтобы прожить в гостинице семь дней и ежедневно расплачиваться с хозяином?

Решение:
Имеется цепочка, в ней достаточно распилить одно - третье с края звено. При этом образуются три куска, в которых 1, 2 и 4 звена.

Процедура обмена в течение семи дней показана в таблице:

Ответ: 1

6. Мать разделила между своими сыновьями груши. Первому она дала половину всех груш и ещё половину груши, второму - половину остатка и ещё половину груши и, наконец, третьему - половину нового остатка и ещё половину груши. Ни одной груши при этом не нужно было разрезать. Сколько груш получил первый сын, если мать раздала все груши?

Решение:
Задачу целесообразно решать с конца. Третий сын получил половину остатка и ещё половину груши. Значит, половина остатка составляет полгруши, а весь остаток - это одна груша и т.д. Решение задачи можно оформить в виде таблицы:

Ответ: 4

7. Сколько человек нужно пригласить на праздничный вечер, чтобы по крайней мере у десятерых из них дни рождения были в одном и том же месяце?

Решение:
Нужно пригласить 12•9 + 1 = 109 человек. Докажем это от противного. Допустим, что среди приглашенных количество рожденных в каждом месяце не превосходит 9. Тогда общее число гостей не превосходит 12•9 = 108, а у нас 109 человек. Меньшего количества гостей, очевидно, недостаточно.

Ответ: 109

8. Сколько существует натуральных чисел n, для которых каждое из шести чисел
n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 и n + 15
является простым?

Решение:
При n = 4 каждое из чисел n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 и n + 15 является простым.
Докажем, что других значений n, при которых каждое из чисел n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 и n + 15 является простым, не существует. Для этого докажем, что среди чисел n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 и n + 15 при любом значении n найдется число, кратное 5. Все значения n можно разделить на 5 типов: 1 - числа, дающие остаток 0 при делении на 5 (n = 5m); 2 - числа, дающие остаток 1 при делении на 5 (n = 5m + 1); 3 - числа, дающие остаток 2 при делении на 5 (n = 5m + 2); 4 - числа, дающие остаток 3 при делении на 5 (n = 5m + 3); 5 - числа, дающие остаток 4 при делении на 5 (n = 5m + 4), где m - целое число.
Если n = 5m, то n + 15 = 5m + 15 - делится на 5.
Если n = 5m + 1, то n + 9 = 5m + 1 + 9 - делится на 5.
Если n = 5m + 2, то n + 3 = 5m + 2 + 3 - делится на 5.
Если n = 5m + 3, то n + 7 = 5m + 3 + 7 - делится на 5.
Если n = 5m + 4, то n + 1 = 5m + 1 + 4 - делится на 5.
При n = 1, n + 9 - составное.
При n = 2, n + 13 - составное.
При n = 3, n + 7 - составное.
При n > 4, среди чисел n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 и n + 15 имеется число, кратное 5 и большее 5, значит, это число - составное.
Поэтому единственное подходящее значение n - это 4.

Ответ: 1