Олимпиада (окт 2016, математика) 9-10 классы - задачи и ответы

1. Про натуральные числа m и n известно, что каждое из них делится на числа 22•33•5 и 23•3, а каждое из чисел 25•37•53 и 24•36•52 делится на m и n. Чему равно наибольшее возможное отношение чисел m и n?

Решение:
Наибольшее отношение чисел m и n будет, когда одно из чисел - наибольшее из возможных, а другое - наименьшее из возможных. Наибольшее из чисел, на которые делятся числа 25•37•53 и 24•36•52, равно 24•36•52. Наименьшее из чисел, которые делятся на числа 22•33•5 и 23•3, равно 23•33•5. Отношение чисел 24•36•52 и 23•33•5 равно 2•33•5.

Ответ: 2•33•5

2. В классе 21 ученик. Известно, что ни у каких двух девочек количество друзей-мальчиков из этого класса не совпадает. Какое наибольшее количество девочек может быть в этом классе?

Решение:
Количество девочек может равняться 11 (см. таблицу):

Докажем, что количество девочек не может быть больше 11. Действительно, если девочек больше 11, то девочка, имеющая максимальное количество друзей-мальчиков, дружит более чем с 10 мальчиками. А значит, общее количество учеников класса больше 21.

Ответ: 11

3. Найдите наибольшее возможное количество цифр числа, обладающего следующим свойством: если закрыть все его цифры, кроме двух соседних, то всегда будет получаться квадрат натурального числа.

Решение:
Составим такое число, первая цифра которого 1: после 1 может стоять только 6, после 6 - только 4, потом только 9. После 9 никакую цифру поставить нельзя, поскольку не существует двузначного числа, первая цифра которого 9 и которое является квадратом натурального числа. Таким образом, среди чисел, начинающихся на 1 и обладающих свойством: если закрыть все его цифры, кроме двух соседних, всегда будет получаться квадрат натурального числа, максимальное число имеет 4 цифры.
Аналогично рассматриваются числа, начинающиеся с 2, начинающиеся с 3 и т.д. Результаты приведены в таблице:

Максимальную длину имеет число 81649.

Ответ: 5

4. Две стороны четырехугольника равны 1 и 4, а одна из диагоналей имеет длину 2 и делит этот четырехугольник на два равнобедренных треугольника. Чему равен периметр такого четырехугольника?

Решение:
Две стороны четырехугольника равны 1 и 4. Эти две стороны могут быть либо смежными, либо противоположными.
Рассмотрим первую ситуацию. В четырехугольнике ABCD треугольник АВС - равнобедренный, поэтому сторона ВС может быть равна либо 2, либо 4. Но значение 2 она принимать не может, поскольку не существует треугольника со сторонами 2, 2, 4. Значит, ВС = 4. Аналогично доказывается, что CD = 2. Таким образом, в четырехугольнике ABCD стороны равны 1, 4, 4, 2. Значит, периметр ABCD равен 11.
Во второй ситуации аналогично доказывается, что периметр может быть равен только 11.

Ответ: 11

5. Число 111...111 (2016 единиц) разделили на 3. Сколько нулей получилось в записи частного?

Решение:
111 = 3•37. 111 111 = 111•1000 + 111 = 111(1001 + 1) = 3•37•1001 = 3•37037.
Аналогично вычисляется, что 111 111 111 = 3•37037037, 111 111 111 111 = 3•37037037037 и т.д.
Таким образом, если в числе 111 111 111 ... 111 содержится 3n единиц, то оно представимо в виде 3•370370370 ... 37, где второй множитель содержит n - 1 нулей.
2016 = 3•672, поэтому нулей будет 671.

Ответ: 671

6. В некоторых клетках таблицы 10×10 поставлены крестики так, что каждый из них - единственный либо в своей строке, либо в своём столбце. Какое наибольшее число крестиков может быть в такой таблице?

Решение:
Пример того, как можно поставить 18 крестиков, приведен на рисунке. Докажем, что 18 - это максимальное число. В одной строчке может быть максимально 10 крестиков. Но если мы поставим в одну строчку 10 крестиков, то больше уже ни одного крестика в таблицу поставить будет нельзя. Если же в строчке стоит 9 крестиков, то можно будет добавить еще 9 крестиков, как показано на рисунке. Поэтому 18 - это максимум.

Ответ: 18

7. Сколько существует простых чисел р, для которых число р2 + 14 также будет простым числом?

Решение:
При р, равном трем, р2 + 14 = 23 - простое число. Докажем, что других простых р, для которых р2 + 14 также будет простым числом, не существует. Для этого докажем, что среди чисел р и р2 + 14 либо первое, либо второе делится на 3. Пусть р не делится на 3. Все такие числа р можно разделить на две группы: 1) р дает остаток 1 при делении на 3 (р = 3n + 1); 2) р дает остаток 2 при делении на 3 (р = 3n + 2), где n - целое число.
Если р принадлежит первой группе, то р2 + 14 = (3n + 1)2 + 14 = 9n2 + 6n + 1 + 14. Это число делится на 3.
Если р принадлежит второй группе, то р2 + 14 = (3n + 2)2 + 14 = 9n2 + 12n + 4 + 14. Это число также делится на 3.
Таким образом, если р делится на 3 и простое, то оно может быть равно только 3. Если р не делится на 3, то р2 + 14 делится на 3 и при этом больше 3, значит, оно составное. Следовательно, существует единственное простое число р, для которого число р2 + 14 также будет простым числом, оно равно 3.

Ответ: 1

8. Если расстояние между соседними (по горизонтали и по вертикали) точками равно 1, то площадь закрашенной фигуры равна...

Решение:
Треугольники BMN и BAC подобны. BN = BC/3. Следовательно, MN = AC/3. Значит, MN = 2/3, КМ = 1/3. Аналогично доказывается, что KD = 1/2. Площадь треугольника KDM равна KD•KM/2 = (1/2)•(1/2)•(1/3) = 1/12. Значит, площадь закрашенной фигуры равна = 1 - 1/12 = 11/12.

Ответ: 11/12