Задание 1

Решите пример. Ответ запишите в римской системе счисления.
MMMDLXXXVIII + CMXCI - MCMXLIV = ?

Ответ: MMDCXXXV

Решение

1. Переведём в арабские числа:

MMMDLXXXVIII = 3588

CMXCI = 991

MCMXLIV = 1944



2. Выполним вычисления:

3588+991−1944=

Сначала

3588+991=4579

Затем

4579−1944=2635



3. Переведём 2635 в римскую систему:

2635 = 2000 + 600 + 30 + 5 → MMDCXXXV

Задание 2

У Петра Владимировича 3 сына. Денис, Александр и Леонид. У них разные профессии и они живут в разных городах: один в Рязани, второй – в Перми и третий – в Муроме. Известно, что


- Денис живет не в Перми, а Леонид – не в Рязани,

- житель Перми – не учитель,

- в Рязани живет пожарный,

- Леонид – не доктор.

Кто кем работает и в каком городе живет?

А) Денис - пожарный в Перми, Александр - учитель в Рязани, Леонид - доктор в Муроме

Б) Денис - пожарный в Рязани, Александр - доктор в Перми, Леонид - учитель в Муроме - правильный ответ

В) Денис - доктор в Рязани, Александр - пожарный в Перми, Леонид - учитель в Муроме

Г) Денис - доктор в Перми, Александр - пожарный в Рязани, Леонид - учитель в Муроме

Д) Леонид - пожарный в Перми, Денис - учитель в Рязани, Александр - доктор в Муроме

Решение

Шаг 1. Кто живёт в Рязани? В Рязани живёт пожарный. Если Леонид не в Рязани, значит пожарный — не Леонид. Следовательно, или Денис, или Александр живёт в Рязани.


Шаг 2. Проверим Дениса. Денис не в Перми, а Рязань пока свободна → возможно, Денис живёт в Рязани. Если так, то Денис — пожарный.


Шаг 3. Остальные города. Остаются Пермь и Муром для Александра и Леонида. Леонид не в Рязани (по условию) → значит он либо в Перми, либо в Муроме. Но житель Перми — не учитель, а профессия Леонида пока неизвестна, кроме того, что он не доктор. Если он не доктор, то может быть только учителем или пожарным, но пожарный уже Денис → значит Леонид — учитель. Тогда он не может жить в Перми (так как житель Перми — не учитель). Следовательно, Леонид живёт в Муроме.


Шаг 4. Остался Александр. Для Александра осталась Пермь. Профессия, которая ещё не занята: доктор. → Александр — доктор, живёт в Перми.

Задание 3

Миша решил создать числовую последовательность по интересному принципу:

Этап 1: Последовательность начинается с числа "1".

Дальнейшие этапы: На каждом этапе к текущему числу справа дописывается его же последняя цифра, умноженная на 3.

Пример первых нескольких этапов формирования последовательности:

Этап 1: "1"

Этап 2: к "1" добавляем последнюю цифру (1), умноженную на 3 → "13"

Этап 3: к "13" добавляем последнюю цифру (3), умноженную на 3 → "139"

Этап 4: к "139" добавляем последнюю цифру (9), умноженную на 3 → "13927"

Миша дошел до этапа 57.

Какая последняя цифра будет у числа, которое создал Миша?

В ответ запишите только одну цифру.

Ответ: 1

Решение

Разберём закономерность последней цифры на каждом этапе:

Этап 1: число = 1 → последняя цифра 1

Этап 2: последняя цифра предыдущего (1) × 3 = 3 → новая последняя цифра 3

Этап 3: 3 × 3 = 9 → 9

Этап 4: 9 × 3 = 27 → последняя цифра 7

Этап 5: 7 × 3 = 21 → 1

Далее цикл повторяется:

1 → 3 → 9 → 7 → 1 → 3 → 9 → 7 → …

То есть период = 4.

Нужно найти последнюю цифру на 57-м этапе.

Позиция в цикле = 57 mod 4 = 1 (так как 4×14 = 56, остаток 1).

⇒ Это та же цифра, что и на 1-м этапе — 1.

Задание 4

У исполнителя Альфа две команды, которым присвоены номера:

 1.прибавь 1;

 2.умножь на b

 (b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2).

 Выполняя первую из них, Альфа увеличивает число на экране на 1, а выполняя вторую, умножает это число на b. Программа для исполнителя Альфа — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 11211 переводит число 6 в число 82. Определите значение b. В ответ запишите только число.

Ответ: 10

Решение

Разберём программу 11211 пошагово:


Исходное число: 6

Команды:

1 — прибавь 1

2 — умножь на b

Программа: 1 1 2 1 1

После первой команды: 6 + 1 = 7

После второй: 7 + 1 = 8

После третьей (умножить на b): 8 × b = 8b

После четвёртой: 8b + 1

После пятой: 8b + 2

По условию, результат = 82.

8b+2=82

8b=80

b=10

Задание 5

Посмотри на программный код, который записан на выдуманном языке программирования. Определи какое число будет напечатано на экране.

        присвоить X значение 10;
        присвоить Y значение 5;
        присвоить S значение выражения X + Y;
        Повторить 3 раза то, что в скобках:
        
        {Если S четное, то выполнить: 
        присвоить X значение выражения X + 11;
        Иначе выполнить: присвоить Y значение выражения Y + 13;
        
        присвоить S значение выражения X + Y;}
        
        Если X больше Y, то выполнить: вывести на экран X;
            Иначе выполнить: вывести на экран Y;  

Ответ: 31

Решение

Начальные значения:

X = 10

Y = 5

S = X + Y = 15

Цикл «повторить 3 раза»:

Первая итерация:

S = 15 (нечётное) → выполняется иначе

⇒ Y = Y + 13 = 5 + 13 = 18

Теперь S = X + Y = 10 + 18 = 28

Вторая итерация:

S = 28 (чётное) → выполняется если

⇒ X = X + 11 = 10 + 11 = 21

Теперь S = X + Y = 21 + 18 = 39

Третья итерация:

S = 39 (нечётное) → выполняется иначе

⇒ Y = Y + 13 = 18 + 13 = 31

Теперь S = X + Y = 21 + 31 = 52

После цикла:

X = 21

Y = 31

Проверяем условие:

X > Y ? → 21 > 31 Нет⇒ выполняется иначе, выводим Y (31).