Олимпиада (фев 2017, математика) 9-10 классы - задачи и ответы

1. Сколько получится слагаемых, если 2¹⁰ записать как сумму двоек?
Ответ: 512

2. На смотре войска Острова лжецов (которые всегда лгут) и рыцарей (которые всегда говорят правду) вождь построил всех воинов в шеренгу. Каждый из воинов, стоящих в шеренге, сказал: "Мои соседи по шеренге - лжецы". (Воины, стоящие в концах шеренги, сказали: "Мой сосед по шеренге – лжец"). Какое наибольшее число рыцарей могло оказаться в шеренге, если на смотр вышли 2017 воинов?
Ответ: 1009

3. Сколько существует натуральных чисел, меньших 600, которые делятся на 15, но не делятся на 21?
Ответ: 34

4. Первый член последовательности равен 1, а каждый следующий, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену суммы его цифр. Какое из данных чисел (4321028, 5432101, 6543212, 7654321, ни одно из этих чисел) может встретиться в этой последовательности?
Ответ: ни одно из этих чисел

5. Правильный треугольник разделен двумя прямыми на ромб площади 18, правильный треугольник площади 1 и две равные трапеции. Какова площадь каждой трапеции?

Ответ: 15

6. В клетки квадрата 3×3 требуется вписать девять различных натуральных чисел так, чтобы все они не превосходили n и чтобы произведения чисел в каждой строке и каждом столбце были равны. При каком наименьшем n это возможно?
Ответ: 15

7.
Чему равно х + у?
Ответ: -1

8. Будильник отстает на 4 минуты в час. 3 часа 45 минут назад будильник был поставлен точно. Сейчас на часах, показывающих точное время, ровно 12 часов. Через сколько минут будет 12 часов на будильнике?
Ответ: 16