Олимпиада (фев 2018, математика) 9-10 классы - задачи и ответы

1. Чему равна сумма |2 – √5| + |3 – √5| ?

Ответ: 1

2. В тюрьме за круглым столом сидят 12 человек: храбрецы и конспираторы. Каждого заставили подписать два заявления: "справа от меня сидит храбрец", и "слева от меня сидит конспиратор". Выйдя на свободу, каждый из них сказал, что подписал ровно одно ложное заявление. Сколько было конспираторов, если известно, что на воле храбрецы всегда говорят правду, а конспираторы всегда вводят в заблуждение?

Ответ: 8

3. Имея полный бак топлива, рыбак может проплыть на моторной лодке 20 км против течения или 30 км по течению реки. На какое наибольшее расстояние он может отплыть по реке, чтобы топлива хватило и на обратный путь? (Движение с выключенным мотором не рассматривается).

Ответ: 12 км

4. Костя Сергеев из 9-а класса и 8 его друзей из той же школы отправились в поход. Оказалось, что среди любых четырех из этих туристов обязательно есть одноклассники, а среди любых пяти - не больше, чем три одноклассника. Сколько учеников 9-а класса пошли в поход?

Ответ: 3

5. Брат и сестра собирали малину в двухлитровые бидоны. Брат собирал ягоды быстрее сестры. Через некоторое время он решил ей помочь и поменялся с ней бидонами. Момент для обмена бидонами был выбран удачно - ребята наполнили их ягодами одновременно. Сколько литров ягод они набрали вместе до того, как поменялись бидонами?

Ответ: 2,0 л

6. Пусть x₁, x₂ - корни уравнения x² – x – 5 = 0
Составьте квадратное уравнение, корнями которого будут числа x₁ + 2x₂ и x₂ + 2x₁

Ответ: x² – 3x – 3 = 0

7. Центры четырех полукругов, изображенных на рисунке, лежат на серединах сторон квадрата. Радиусы этих полукругов равны 1. Каков радиус окружности, которая касается этих четырех полукругов?

Ответ: √2 – 1

8. Митя написал на листе два числа. В качестве третьего числа он написал сумму первого и второго, в качестве четвертого - сумму второго и третьего и т.д., пока не написал шестое число. Потом он сложил все шесть полученных чисел и заметил, что если знать такую сумму, то всегда можно точно определить, каким было одно из шести слагаемых. Какое?

Ответ: пятое