Олимпиада (фев 2020, математика) 7-8 классы - задачи и ответы

1. Произведение трех последовательных натуральных чисел равно 6840. Найдите сумму цифр наименьшего из этих трех чисел.

Ответ: 9

2. Автомобиль ехал из пункта А в пункт В порожняком с постоянной скоростью, а возвращался по той же дороге с грузом со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью он ехал порожняком, если средняя скорость движения оказалась равной 70 км/ч?

Ответ: 84 км/ч

3. С полуночи до полудня Кот Ученый рассказывает сказки, а с полудня до полуночи спит под дубом. На дубе том висит плакат: «Два часа назад Кот делал то же самое, что он будет делать через час». Сколько часов в сутки эта надпись верна?

Ответ: 18

4. На двух параллельных прямых отметили 10 точек: 4 на одной и 6 на другой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Ответ: 96

5. В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны, а точки D и Е таковы, что АЕ = AD и угол BAD = 30°. Чему равен угол CDE?

Ответ: 15°

6. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут, – 90 человек. У каждого жителя острова есть любимый цветок – ромашка, колокольчик или василек. Каждому жителю острова задали три вопроса: 1) ваш любимый цветок ромашка; 2) ваш любимый цветок колокольчик; 3) ваш любимый цветок василек? На первый вопрос утвердительно ответили 50 человек, на второй – 30 человек и на третий – 25 человек. Сколько лжецов на острове?

Ответ: 15

7. Х – пятизначное натуральное число, которое записывается с помощью цифр 5 и 6 и делится на 12. Сколько существует таких чисел Х?

Ответ: 3

8. Сколько пар натуральных чисел (а, b), где а меньше b, удовлетворяют следующему равенству? НОК (a, b) = НОД (a, b) + 2

Ответ: 2