Олимпиада (фев 2021, математика) 9-10 классы - задачи и ответы

1. На двух параллельных прямых отметили 9 точек: 4 на одной и 5 на другой. Сколько существует четырехугольников с вершинами в этих точках?

РЕШЕНИЕ
Очевидно, что две вершины четырехугольника лежат на одной прямой, две – на другой. Две точки из четырех можно выбрать шестью способами (6 = 4·3/2). Две точки из пяти можно выбрать десятью способами (10 = 5·4/2). Поэтому существует 60 четырехугольников с вершинами в этих точках (60 = 6·10).

Ответ: 60

2. Если от трехзначного числа Х отнять 7, то разность разделится на 7; если от него отнять 8, то разность разделится на 8; если от него отнять 9, то разность разделится на 9. Найдите сумму цифр числа Х.

РЕШЕНИЕ
Если от числа Х отнять 7, то разность разделится на 7. Значит, число Х делится на 7. Аналогично устанавливается, что Х делится на 8 и на 9. Если Х делится на 7, 8 и 9, то оно делится и на 504 (504 = 7·8·9). Единственное трехзначное число, которое делится на 504, – это 504.

Ответ: 9

3. В гости пришло 25 человек в галошах разного размера. Расходились по одному, и некоторые, уходя, надевали галоши большего размера. Сколько могло остаться гостей, не сумевших надеть галоши? Определите наибольшее число таких гостей.

РЕШЕНИЕ
Если 13 людей с самым маленьким размером ноги наденут 13 самых больших галош, то 12 человек останутся без галош. Докажем, что 12 – это максимальное число людей, которые могут остаться без галош. Допустим, без галош остались 13 человек (пусть это будет группа Х). Тогда 13 галош остались не надетыми. Но у этих 13 галош имеются 13 хозяев, которые в них пришли (пусть это будет группа У). Очевидно, что человек не может входить одновременно и в группу Х, и в группу У (иначе он смог бы надеть галоши). Значит, людей не менее 26 (26 = 13 + 13). Но по условию количество людей 25. Получили противоречие. Значит, наше предположение было неверно.

Ответ: 12

4. На боковых гранях куба расставлены натуральные числа, а в каждой вершине написано число, равное произведению чисел на трех прилегающих к этой вершине гранях. Сумма чисел в вершинах равна 385. Какова сумма чисел на гранях?

РЕШЕНИЕ
Пусть на трех смежных гранях куба написаны числа: а, b и с. На гранях, противоположных граням с числами а, b и с, написаны числа: х, у и z соответственно. Тогда сумма чисел в вершинах равна аbс + хуz + аbz + сху + bхz + асу + bсх + ауz = (а + х)(b + у)(с + z). 385 = 5·7·11.
Поэтому сумма чисел на гранях равна (а + х) + (b + у) + (с + z) = 5 + 7 + 11 = 23 (заметим, что в каждой скобке находится сумма двух натуральных чисел, единицей она быть не может).

Ответ: 23

5. Сколько получится слагаемых, если 5⁶⁴ записать как сумму пятерок?

РЕШЕНИЕ
Пусть 5⁶⁴ = 5 + 5 + ... + 5 = 5n. Отсюда n = 5⁶³.

Ответ: 5⁶³

6. На смотре войска Острова лжецов и рыцарей вождь построил всех воинов в шеренгу. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда врут. Каждый из воинов, стоящих в шеренге, сказал: «Мои соседи по шеренге - лжецы». (А воины, стоящие в концах шеренги, сказали: «Мой сосед по шеренге – лжец»). Какое наибольшее число рыцарей могло оказаться в шеренге, если на смотр вышли 555 воинов?

РЕШЕНИЕ
Если поставить рыцарей и лжецов через одного, начиная с рыцаря (Р Л Р Л Р … Р Л Р), то в шеренге окажется 278 рыцарей. Докажем, что большего количества рыцарей быть не может. Для этого разобьем воинов на пары (ǀ хх ǀ хх ǀ хх ǀ … ǀ хх ǀ х). Получится 277 пар и один последний воин без пары. В каждой паре может быть не более одного рыцаря (иначе рыцарь скажет неправду), последний воин может быть рыцарем. Поэтому рыцарей может быть не более 278.

Ответ: 278

7. График функции у = f (х) симметричен относительно прямой х = 4 и уравнение f (х) = 0 имеет 7 различных действительных корней. Чему равна сумма этих корней?

РЕШЕНИЕ
Изобразим точки пересечения графика функции у = f (х) с осью абсцисс.

Сумма корней уравнение f (х) = 0 равна
(4 – z) + (4 – у) + (4 – х) + 4 + (4 + х) + 4 + у) + (4 + z) = 28.

Ответ: 28

8. Катя провела в правильном n-угольнике несколько непересекающихся диагоналей (они могут иметь общие концы). Эти диагонали разделили n-угольник на три треугольника, четыре четырехугольника и пять пятиугольников. Чему равно n?

РЕШЕНИЕ
Если разделить n-угольник непересекающимися диагоналями на треугольники, получится n – 1 треугольников. Разделим каждый полученный Катей четырехугольник диагональю на два треугольника, каждый пятиугольник непересекающимися диагоналями на три треугольника. При этом n-угольник разделится на 26 треугольников (26 = 3 + 2·4 + 3·5). Значит, n = 28.

Ответ: 28