Олимпиада (фев 2022, информатика) 10 классы - задачи и ответы

1. Найдите сумму всех чисел в диапазоне [1, 10000], у которых цифры не повторяются и их сумма не более 20, а среди делителей числа присутствуют 3, 5, 7.

РЕШЕНИЕ

Ответ: 183330

2. У Пети есть желтые, красные, черные и белые воздушные шарики, причем шариков каждого цвета есть столько, до скольки Петя считать еще не научился (можем предполагать, что их сколько угодно). Петя хочет взять с собой на прогулку какие-нибудь шарики, при этом больше трех шариков утянут Петю в открытый космос (они гелиевые), а совсем без шариков гулять не интересно. Сколькими способами он может выбрать шарики?

РЕШЕНИЕ
4 + ((4 · 3)/2 + 4) + (4 · 3 · 2/6 + 4 · 3 + 4) = 34

Ответ: 34

3. У торговца имеется в наличии 8 гирь весом от 1 до 8 кг. Торговец положил несколько гирь на правую чашу весов и несколько на левую, после чего чаши весов уравнялись, а одна гиря осталась лежать на полу. После этого покупатель смог предположить, сколько весит оставшаяся гиря. Сколько кг она может весить?

РЕШЕНИЕ
Очевидно, что оставшаяся гиря должна весить четное количество кг. Поэтому, покупатель может предположить, что ее вес 2, 4, 6 или 8 кг.

Ответ: 2, 4, 6, 8

4. На зачете по ИКТ присутствуют пятьдесят студентов, каждый из которых получил 1 из 50 билетов. Преподаватель хочет узнать, кто какой билет получил, но желает задать как можно меньше вопросов. Студенты разрешают преподавателю задать вопрос строго по шаблону: он может перечислить список номеров билетов (в границах от 1 до 50), и студенты, чьи номера билетов попали в список, поднимают руку. Наименьшее количество вопросов равно…

РЕШЕНИЕ
Задача на знание бинарного поиска, 26 > 50.
Пронумеруем билеты в двоичной системе счисления. Тогда их номера будут иметь вид: 000001, 000010, 000011, … . В этом случае вопросы могли бы звучать так: первый вопрос: «У кого первая цифра номера билета равна 0?» Второй вопрос: «У кого вторая цифра номера билета равна 0?» Третий вопрос: «У кого третья цифра номера билета равна 0?» Четвертый вопрос: «У кого четвертая цифра номера билета равна 0?» Пятый вопрос: «У кого пятая цифра номера билета равна 0?». Шестой вопрос: «У кого шестая цифра номера билета равна 0?». Поднимая или не поднимая руку после каждого вопроса, ученик однозначно идентифицирует номер своего билета. Осталось перевести номера билетов и соответственно вопросы учителя в десятичную систему счисления, и мы получим решение задания.

Ответ: 6

5. Имеются следующие утверждения:
• Ивану нравится программирование;
• Ивану не везет на зачете;
• Ивану везет на зачете, но ему не нравится программирование;
• Если Ивану нравится программирование, то ему не везет на зачете;
• Либо Ивану везет на зачете, либо ему нравится программирование, но не то и не другое одновременно.
Наибольшее число утверждений, которые одновременно могут быть истинными, равно...

РЕШЕНИЕ
Запишем два высказывания: А = «Ивану нравится программирование» и В = «Ивану везет на зачете». Тогда наши утверждения можно записать в виде логических формул:

Ответ: 4