Олимпиада (фев 2022, математика) 7-8 классы - задачи и ответы

1. Какой самый маленький результат можно получить, вставив пару скобок в выражение?
2010 : 10 + 2010 : 201 + 2010 · 0

РЕШЕНИЕ
(2010:10 + 2010:201 +2010) · 0 = 0
Отрицательных значений среди приведенных вариантов не было, поэтому можно не доказывать, что 0 - это наименьшее значение.

Ответ: 0

2. На рисунке изображены квадрат и пять одинаковых кругов. Вершины квадрата расположены в центрах внешних кругов. Тогда отношение площади закрашенной части кругов к площади их незакрашенной части равно ...

РЕШЕНИЕ
Закрашенная часть равна двум кругам, незакрашенная - трем.

Ответ: 2 : 3

3. Семья состоит из мамы, папы и четверых детей. Средний рост детей - 120 см, а родителей - 174 см. Каков средний рост всех членов этой семьи?

РЕШЕНИЕ
Средний рост всех членов этой семьи равен (120ˑ4 + 174ˑ2)/6 = 138 (см).

Ответ: 138 см

4. Число а составляет 10% от числа b, число b составляет 20% от с, а с составляет 50% от d. Во сколько раз d больше а?

РЕШЕНИЕ
а = 0,1 b = 0,1ˑ0,2 с = 0,1ˑ0,2 ˑ0,5 d = 0,01 d.

Ответ: 100

5. Даша и Таня живут в одном подъезде. Даша живёт на 6 этаже. Выходя от Даши, Таня пошла не вниз, как ей было нужно, а вверх. Дойдя до последнего этажа, Таня поняла свою ошибку и пошла вниз на свой этаж. Оказалось, что Таня прошла в полтора раза больше, чем если бы она сразу пошла вниз. Сколько этажей в доме?

РЕШЕНИЕ
Пусть между этажом Даши и последним этажом Х лестничных пролетов (лестничным пролетом назовем лестницу между двумя соседними этажами). Тогда между этажами Даши и Тани 4Х пролетов. 4Х меньше шести. Значит, 4Х = 4. Х = 1.

Ответ: 7

6. Заяц соревновался с черепахой в беге на 100 метров. Когда заяц прибежал к финишу, черепахе оставалось пробежать еще 90 метров. На сколько метров надо отодвинуть назад стартовую линию для зайца, чтобы при новой попытке оба бегуна пришли к финишу одновременно?

РЕШЕНИЕ
Пока заяц бежал 100 м, черепаха пробежала 10 м. Значит, заяц бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха. Для того чтобы оба бегуна пришли к финишу одновременно, заяц должен пробежать в 10 раз больше. Получается, что он должен пробежать 1000 м. А значит, стартовую линию для зайца надо отодвинуть назад на 900 м.

Ответ: 900

7. Каждый из 100 гномов - рыцарь, который всегда говорит правду, или лжец, который всегда лжет. Однажды все гномы по очереди сделали заявление: «Среди заявлений, сделанных ранее, ложных ровно на два больше, чем истинных». Сколько рыцарей могло быть среди гномов?

РЕШЕНИЕ
Первый гном, который сделал заявление, сказал ложь, поскольку до него было 0 ложных заявлений и 0 истинных. Поэтому он лжец. Второй гном также сказал ложь, поскольку до него было 1 ложное заявление и 0 истинных. Поэтому он лжец. Третий гном сказал правду, поскольку до него было 2 ложных заявления и 0 истинных. Поэтому он рыцарь. Аналогично доказывается, что четвертый гном - лжец, пятый - рыцарь, и т.д. (В дальнейшем рыцари и лжецы будут чередоваться).

Ответ: 49

8. Сколько простых чисел равны сумме двух простых чисел и одновременно разности двух простых чисел?

РЕШЕНИЕ
Таким числом является число 5 (действительно, 5 = 3 + 2, 5 = 7 – 2). Докажем, что других таких чисел не существует. Пусть х, а, b, c, d – простые числа, такие что х = а + b, х = c – d. Очевидно, что среди чисел х, а, b есть хоть одно четное. Среди простых чисел есть только одно четное число - 2. Число х не может быть равно 2. Пусть b = 2. Среди чисел х, c, d есть также число 2. Числа х и с не могут быть равны 2. Значит, d = 2. Получается, что х = а + 2, х = c – 2. Отсюда с = а + 4. Докажем, что среди чисел а, а + 2, а + 4 одно делится на 3 при любом а. Если число а не делится на 3, то оно дает остаток 1 или 2 при делении на 3. Если а дает остаток 1 при делении на 3, то а + 2 делится на 3. Если а дает остаток 2 при делении на 3, то а + 4 делится на 3. Но существует только одно простое число, которое делится на 3. Это число 3. Поэтому три простых числа а, а + 2, а + 4 могут быть равны только 3, 5, 7.

Ответ: 1