Олимпиада 9-10 классы - задачи и ответы

1. На конференцию приехали орки и тролли. Тролли всегда врут, орки всегда говорят правду.
В буфете собрались Арбузам, Врекубам и Самупал.
Арбузам сказал: «Мы все тролли!»
Врекубам сказал: «Ровно один из нас тролль».
Кем был Самупал? (орком или троллем?)
Ответ: орком

2. Буратино, умножив 14 на 21, получил в ответе 344. В ответ на замечание Мальвины, он, оправдываясь, сумел вспомнить красивое слово «система счисления». В системе счисления с каким основанием равенство, написанное Буратино, верно? (В ответе напишите число).
Ответ: 5

3. На столе лежат 10 карточек:

Робин и Бобин по очереди берут себе по одной карточке. Выигрывает игрок, первым собравший три карточки, на которых есть одна и та же буква. Первым ходит Робин. Карточку с каким словом ему надо взять первым ходом, чтобы обеспечить свою победу?
Ответ: рак

4. Рыцари Семилистника всегда говорят правду, рыцари Тысячелистника всегда врут. В замок, где находились рыцари Семилистника и рыцари Тысячелистника, приехала принцесса Мери. Некоторые рыцари смогли поговорить с Мери, а некоторые из тех, кто поговорил, даже осмелились пригласить её на свидание под луной. На утренней перекличке, на которой присутствовали все 344 рыцаря, на вопрос «Кто беседовал с принцессой?» положительно ответили 3/4 рыцарей, а на вопрос «Кто пригласил принцессу на свидание?» положительно ответили 7/8. В каком ордене и на сколько было больше рыцарей, поговоривших с принцессой, но не пригласивших её на свидание? (Если в Семилистнике, прибавьте к ответу 25; если в Тысячелистнике, умножьте ответ на 2; если поровну, разделите ответ на любое понравившееся натуральное число).
Ответ: 86

5. Кросснумбер

По горизонтали:
А – третья степень двузначного числа.
Б=2b-12
В=3Б+5b
Г – третья степень двузначного числа.
Д – 392% от f.
Е – 92% от f.
По вертикали:
a=А-1
b=Б
c – самое большое двузначное число.
d – число, кратное 9.
e – чётное число.
f – какая-то степень числа 5.
Решите кросснумбер и запишите в ответе сумму чисел d и e.
Ответ: 7907

6. Найдите такие числа a и b, что a+b=ab=a/b.
(в ответ запишите 4a-b)
Ответ: 3

7. Шахматная фигура «маляр» ходит в соседнюю по стороне клетку и перекрашивает её в противоположный цвет. Маляр стоит на клетке, отмеченной солнышком. За какое наименьшее число ходов он сможет перекрасить доску в белый?

Ответ: 16

8. Найдите сумму коэффициентов многочлена, получающегося после раскрытия скобок в выражении:

Ответ: 0

9. ABCD, CDEF и EFGH – квадраты. O – точка пересечения прямых AG и BE.
Чему равна градусная мера угла AOB?

Ответ: 45

10. Равносторонняя трапеция, основания которой относятся как 1:2, разделена на четыре «маленькие» одинаковые трапеции (как показано на рисунке). Найдите отношение длины большого основания «маленькой» трапеции к длине её меньшего основания.

Ответ: 5