Олимпиада (окт 2017, математика) 9-10 классы - задачи и ответы

1. Число 15 = 3•5 в 5 раз больше своего наименьшего делителя, отличного от 1. Сколько всего натуральных чисел обладают таким свойством?

Ответ: 3

2. В первенстве школы по шахматам была сыграна 231 партия. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый с каждым сыграл одну партию?

Ответ: 22

3. Сколько решений имеет данная система уравнений?

Ответ: 2

4. Гусеница выползла из домика в полдень и ползет по лугу, поворачивая через каждый час на 90° направо или налево. За первый час она проползла 1 м, за второй час 2 м, и т.д. На каком наименьшем расстоянии от домика она могла оказаться в 9 часов вечера?

Ответ: 1 м

5. В треугольнике медианы равны 5 и 6 и пересекаются под прямым углом. Найдите площадь треугольника.

Ответ: 20

6. Назовём тройку различных чисел, выбранных из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6}, хорошей, если никакая пара чисел из этой тройки не имеет сумму 7. Коля перемножил числа в каждой хорошей тройке, а потом сложил полученные произведения. Какое число он получил?

Ответ: 7³

7. Найдите наибольшее значение функции:

Ответ: 3/2

8. У скольких двузначных чисел при умножении на 2 не меняется сумма цифр?

Ответ: 10