Олимпиада (окт 2018, математика) 9-10 классы - задачи и ответы

1. Саша поставил на прямой четыре точки. Для каждой пары отмеченных точек он измерил расстояние между ними и записал эти расстояния в порядке возрастания: 2, 4, k, 9, 11, 13. Чему равно k?

Ответ: 7

2. Замените звёздочки в записи числа 15*4* цифрами так, чтобы число делилось без остатка на 12. Сколько различных вариантов ответа может при этом получиться?

Ответ: 10

3. Какое наименьшее количество шашек надо поставить на доску размером 7×7, чтобы в каждом квадрате 2×2 находилась ровно одна шашка?

Ответ: 9

4. Если a³ + 7a - 9 = 0, то число (2a³ + 3a)/(11a - 18) равно ...?

Ответ: -1

5. У Маши есть 6 карточек, на каждой из которых написано натуральное число. Она произвольно выбирает 3 карточки и вычисляет сумму чисел, написанных на них. Проделав это для всех 20 возможных комбинаций из трех карточек, она обнаружила, что 10 сумм равны 16, а остальные 10 сумм - 18. Тогда наименьшее из чисел на карточках равно ...?

Ответ: 4

6. Сколько различных пар вещественных чисел (х, у) удовлетворяют уравнению (х + у)² = (х + 3)(у – 3)?

Ответ: 1

7. В прямоугольнике ABCD площади 1 точки Р, Q, R и S - середины его сторон, Т - середина отрезка RS. Какова площадь треугольника PQT?

Ответ: 1/4

8. Дима выписал все четырехзначные числа от 1000 до 9999 и подчеркнул те, в которых есть хотя бы три одинаковые цифры. Сколько чисел он подчеркнул?

Ответ: 333