Олимпиада (окт 2016, математика) 5-6 классы - задачи и ответы

1. Все мои друзья имеют домашнего питомца. У шестерых из них есть собака, у пятерых - кошка. И только у двоих есть и кошка, и собака. Сколько у меня друзей?

Решение:
Друзей можно разделить на три группы: 1 - друзья, у которых есть и кошка, и собака; 2 - друзья, у которых есть кошка, но нет собаки; 3 - друзья, у которых есть собака, но нет кошки. В первой группе 2 человека, во второй 5 - 2 = 3, в третьей 6 - 2 = 4. Всего 2 + 3 + 4 = 9 друзей.

Ответ: 9

2. Фигура на картинке сложена из двух кубиков. Ребро меньшего кубика - 1 см, а ребро большего - 3 см. Какова площадь поверхности этой фигуры?

Решение:
Площадь квадрата со стороной 1 см равна 1² см², площадь квадрата со стороной 3 см равна 3² см².
Площадь поверхности фигуры равна 6•3² + 6•1² - 2•1² = 58 см².

Ответ: 58 см²

3. Толик сложил квадратный листок бумаги пополам, потом еще, еще, еще и еще раз (всего он сложил листок бумаги пять раз). В центре того, что получилось, он проделал дырку, а потом снова развернул лист. Сколько дырок он увидел?

Решение:
После каждого сгибания бумаги количество слоев удваивается. После первого сгибания 2 слоя, потом 4, потом 8, потом 16, потом 32. После того, как проделали дырку, в каждом слое оказалось по одной дырке. Значит, дырок 32.

Ответ: 32

4. Наши предки называли число, равное миллиону миллионов, словом «легион». Если разделить миллион легионов на легион миллионов, то получится...

Решение:
Миллион легионов - это миллион, умноженный на легион; легион миллионов - это легион, умноженный на миллион. Эти два числа равны, поэтому их отношение равно 1.

Ответ: 1

5. Сумма вычитаемого, уменьшаемого и разности равна 2016. Тогда уменьшаемое равно...

Решение:
Пусть х - уменьшаемое, у - вычитаемое, z - разность. Тогда х - у = z, х + у + z = 2016.
Значит, х = у + z. В уравнении х + у + z = 2016 заменим у + z на х. Тогда 2х = 2016. Следовательно, х = 1008.

Ответ: 1008

6. В ряд выписали 12 натуральных чисел так, что сумма любых трех соседних чисел равна 24. На первом месте стоит число 8, а на девятом - 7. Какое число стоит на втором месте?

Решение:
На первом месте стоит число 8. Пусть на втором месте стоит х, на третьем - у. Тогда на четвертом месте находится 8, на пятом - х и т.д.
Последовательность будет иметь следующий вид: 8, х, у, 8, х, у, 8, х, у, 8, х, у. Девятое число равно 7, поэтому у = 7. Сумма первого, второго и третьего чисел равна 24, значит, х = 9.

Ответ: 9

7. В одной урне лежат два белых шара, в другой - два черных, в третьей - один белый шар и один черный. На каждой урне висела табличка, указывающая ее состав: ББ, ЧЧ, БЧ. Но какой-то шутник перевесил все таблички так, что теперь каждая из них указывает состав урны неправильно. Разрешается вынуть шар из любой урны, не заглядывая в нее. Какое наименьшее число извлечений потребуется, чтобы определить состав всех урн? (Вы осведомлены о проделке шутника. После каждого извлечения шар опускается обратно).

Решение:
Достаточно вытащить один шар из третьей урны. Если этот шар - белый, то в третьей урне два белых шара, во второй - белый и черный, в первой - два черных. Если этот шар - черный, то в третьей урне два черных шара, в первой - белый и черный, во второй - два белых.

Ответ: 1

8. Трое мальчиков участвуют в велосипедных гонках. Слава стартовал первым, Петя - вторым, а Витя - третьим. Положение Славы в гонке менялось 8 раз, а положение Пети - 3 раза. Тогда положение Вити могло меняться...

Решение:
Положение Славы в гонке менялось 8 раз, положение Пети - 3 раза. Пусть положение Вити менялось х раз. Тогда 8 + 3 + х равно удвоенному числу обгонов, и, значит, оно четное. Из этого следует, что х - нечетное. Оно не может быть равно 1, поскольку 8 + 3 + 1 = 12. Но число обгонов не может быть равно 6, т.к. 6 меньше, чем 8. Среди приведенных вариантов ответа единственный подходящий ответ - 9.

Ответ: 9 раз